Question

已知橢圓4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k為參數(shù)），存在一條直線，使得此直線被這些橢圓截得的線段長(zhǎng)都等于

5

，求直線方程

y=2x±2

．

Answer 1

分析：先判斷出 橢圓4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k為參數(shù)）表示中心在直線y=2x上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為4，2的一族橢圓，判斷出符和條件的直線需要與直線y=2x平行，設(shè)出直線方程，先利用一個(gè)特殊的橢圓與直線方程聯(lián)立求出直線的方程，在證明對(duì)于所以的橢圓都滿足條件．

解答：解：橢圓4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k為參數(shù)）可化為(x-k)2+

(y-2k)2

4

=1，
所以4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0表示中心在直線y=2x上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為4，2的一族橢圓，
而所求的直線與這族橢圓種的任意橢圓都相交，
若所求的直線l與直線y=2x不平行，則必定存在橢圓與直線l不相交，
于是，設(shè)所求直線的方程為y=2x+b
因?yàn)榇酥本�被這些橢圓截得的線段長(zhǎng)都等于

5

，則直線y=2x+b與橢圓x2+

y2

4

=1所得到弦長(zhǎng)為

5

，
由

y=2x+b x2+ y2 4 =1

得8x²+4by+b²-4=0
得[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]•5=5
即(-

4b

8

)2-4×

b2-4

8

=1
解得b=±2
設(shè)直線y=2x+2與圓4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k為參數(shù)），相交所得的弦長(zhǎng)為d，則由

4x2+y2- 8kx-4ky+8k2-4=0 y=2x+2

得
8x²+（8-16k）x+8k²-8k=0
所以d²=[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]•5=5[（2k-1）²-4（k²-8k）]=5
所以直線y=2x+2與橢圓4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k為參數(shù)）相交所得的弦長(zhǎng)為

5

．
同理可證，對(duì)任意k∈R，橢圓4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k為參數(shù)）與直線y=2x-2相交所得弦長(zhǎng)為

5

．．

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題，應(yīng)該先將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，然后找突破口．