Question

18．在數列{a_n}中，a₁=2，2（a_n+1-1）（a_n-1）+a_n+1-a_n=0（n∈N^*），若a_n＜$\frac{201}{199}$，則n的最小值為（　　）

• A． 50
• B． 51
• C． 100
• D． 101

Answer 1

分析 令a_n-1=b_n，確定，可得數列{$\frac{1}{_{n}}$}是以1為首項，2為公差的等差數列，求出b_n，可得a_n，利用a_n＜$\frac{201}{199}$，建立不等式，即可得出結論．

解答 解：令a_n-1=b_n，則
∵2（a_n+1-1）（a_n-1）+2a_n+1-2a_n=0，
∴2b_n+1b_n+b_n+1-b_n=0
∴$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=2，
∵a₁=2，∴$\frac{1}{_{1}}$=1，{$\frac{1}{_}$}是等差數列，公差為2．
∴$\frac{1}{_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_n=$\frac{2n}{2n-1}$，
∵a_n＜$\frac{201}{199}$，
∴$\frac{2n}{2n-1}$＜$\frac{201}{199}$，
∴n＞50+$\frac{1}{4}$，
∴n的最小值為50．
故選：A．

點評 本題考查數列遞推式，考查等差數列的判定，考查學生的計算能力，正確轉化是關鍵．