（理科做） 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，則BC和平面ACD所成角的
正弦值為
 
．
精英家教網(wǎng)
分析：以B為原點(diǎn)，以BC為x軸，以BD為y軸，以BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BC和平面ACD所成角的正弦值．
解答：解：在三棱錐A-BCD中，精英家教網(wǎng)
∵AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，
∴以B為原點(diǎn)，以BC為x軸，以BD為y軸，以BA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BC=BD=2，AB=1，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），
∴
CB
=（-2，0，0），
CA
=（-2，0，1），
CD
=（-2，2，0），
設(shè)平面ACD的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
CA
=0，
n
•
CD
=0，
∴
-2x+z=0
-2x+2y=0
，∴
n
=（1，1，2），
設(shè)直線BC和平面ACD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜
CB
，
n
＞|=|
-2
2•
6
|=
6
6
．
故答案為：
6
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科做） 如圖，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，則△ACO為鈍角三角形的概率為
2
5
2
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（理科做）如圖所示已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD且PA=1．建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量求解下列問題：
（1）求點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD；
（3）當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)Q點(diǎn)，使得時(shí)PQ⊥QD，求二面角Q-PD-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科做）如圖，點(diǎn)P為橢圓
x2
9
+
y2
5
=1上的動(dòng)點(diǎn)，A為橢圓左頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．
（1）若∠AFP=60°，求PF所在直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)|PQ|；
（2）若點(diǎn)M在線段PF上，且滿足
FM
+
1
2
PM
=
0
，求點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科做）如圖，已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是棱AA1上的一點(diǎn)，且A1P：PA=m：n．
（I）在AB上找出一點(diǎn)Q，使C1P⊥PQ；
（II）求當(dāng)C1P⊥PQ時(shí)，線段AQ的長(zhǎng)．

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