設(shè)
3
2
≤x≤5，證明不等式：2
x+1
+
2x-3
+
15-3x
＜2
19
．
分析：先利用均值不等式，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．
解答：證明：由均值不等式可得
x+1
+
x+1
+
2x-3
+
15-3x
4
＜
x+1+x+1+2x-3+15-3x
4
=
14+x
4

∴2
x+1
+
2x-3
+
15-3x
＜2
14+x

∵
3
2
≤x≤5，∴y=2
14+x
單調(diào)遞增，∴2
14+x
≤2
19

∴2
x+1
+
2x-3
+
15-3x
＜2
19
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•遼寧）設(shè)f(x)=lnx+
x
-1，證明：
（Ⅰ）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜
3
2
（ x-1）；
（Ⅱ）當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f(x)＜
9(x-1)
x+5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x+
m
x
+m（x∈[1，+∞）且m＜1）．
（Ⅰ）用定義證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=x•f(x)+2x+
3
2
，若[2，5]是g（x）的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，且在該區(qū)間上g（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖北）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（參考數(shù)據(jù)：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：湖北 題型：解答題

設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（參考數(shù)據(jù)：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

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