【題目】若對(duì)任意的正整數(shù),集合的任意元子集中,總有三個(gè)元素兩兩互素.的最小值.

【答案】68

【解析】

考慮時(shí)的集合67元子集,其元素為偶數(shù)及被3整除的奇數(shù),即

.

顯然,集合中不存在三個(gè)兩兩互素的元素.

于是,不符合要求.

下面證明符合要求.

先證明一個(gè)引理.

引理對(duì)任意的正整數(shù),集合

的任意五元子集中,總有三個(gè)元素兩兩互素.

證明,設(shè)為集合的一個(gè)五元子集.

注意到,這六個(gè)數(shù)三奇三偶,且恰有一個(gè)為5的倍數(shù).

于是,若集合中含有三個(gè)奇數(shù)則這三個(gè)奇數(shù)必兩兩互素,結(jié)論成立.

若集合中元素為兩奇三偶,由于三個(gè)偶數(shù)中至多有一個(gè)為3的倍數(shù),至多有一個(gè)為5的倍數(shù),因此,三個(gè)偶數(shù)中必有一個(gè)數(shù)既不為3的倍數(shù),也不為5的倍數(shù),它與兩個(gè)奇數(shù)兩兩互素,結(jié)論成立.

回到原題.

對(duì)任意的正整數(shù),將集合劃分成如下17個(gè)集合:

,

設(shè)為集合的68元子集.

(1)若集合有四個(gè)元素來(lái)自集合,由于為奇數(shù)時(shí),、兩兩互素;為偶數(shù)時(shí),、兩兩互素,因此,集合中至少有三個(gè)元素兩兩互素.

(2)若集合至多有三個(gè)元素來(lái)自集合,則集合至少有65個(gè)元素來(lái)自集合.

根據(jù)抽屜原理,知集合至少有五個(gè)元素來(lái)自同一個(gè)集合,不妨設(shè)其來(lái)自集合.由引理,知它們中存在三個(gè)兩兩互素的元素.因此,集合中總有三個(gè)兩兩互素的元素.

從而,符合要求,即對(duì)任意的正整數(shù),集合的任意68元子集中,總有三個(gè)元素兩兩互素.

綜上,的最小值為68.

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