Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC₁上的點(diǎn)，且CN=2C₁N，
（Ⅰ）求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求點(diǎn)B₁到平面AMN的距離。

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn)，所以AM⊥BC， 又AM⊥CC1，所以AM⊥面BC， 從而AM⊥B1M，AM⊥NM， 所以∠B1MN為二面角B1-AM-N的平面角。 又B1M=， MN=， 連B1N，得B1N=， 在△B1MN中，由余弦定理得 ， 故所求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值為。 （Ⅱ）過(guò)B1在面內(nèi)作直線，H為垂足， 又AM⊥平面， 所以AM⊥B1H，于是B1H⊥平面AMN， 故B1H即為B1到平面AMN的距離。 在中，B1H=B1M， 故點(diǎn)B1到平面AMN的距離為1。