雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦點為F,漸近線l1上一點P(
3
3
,
6
3
)滿足:直線PF與漸近線l1垂直.       
(1)求該雙曲線方程;
(2)設(shè)A、B為雙曲線上兩點,若點N(1,2)是線段AB的中點,求直線AB的方程.
分析:(1)先由雙曲線方程求出漸近線方程,再聯(lián)立求交點坐標(biāo),與P(
3
3
6
3
)為同一點,可求出a,b值,則雙曲線方程可求.
(2)依題意,記A(x1,y1),B(x2,y2),可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)+2,代入雙曲線方程,化簡可得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0①,由根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=
2k(2-k)
2-k2
,而已知N(1,2)是AB的中點得
1
2
(x1+x2)=1,聯(lián)立可得k的值,即可得直線的方程.
解答:解:(1)設(shè)F(c,0),l1:y=
b
a
x,
解方程組
y=
b
a
x
x2
a2
-
y2
b2
=1
得P(
a2
c
,
ab
c

又已知P(
3
3
6
3
).
a2
c
=
3
3
ab
c
=
6
3
,又a2=b2+c2
∴a=1,b=
2
,c=
3

∴雙曲線方程為x2-
y2
2
=1
(2)依題意,記A(x1,y1),B(x2,y2),
可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)+2,
代入x2-
y2
2
=1,整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0①
x1,x2則是方程①的兩個不同的根,
所以2-k2≠0,且x1+x2=
2k(2-k)
2-k2
,
由N(1,2)是AB的中點得
1
2
(x1+x2)=1,
∴k(2-k)=2-k2,
解得k=1,
所以直線AB的方程為y=x+1.
點評:本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,用到求交點坐標(biāo),以及方程思想,做題時認(rèn)真分析,找到正確解法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若點O和點F(-2,0)分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)
的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則
OP
FP
的取值范圍為( 。
A、[3-2
3
,+∞)
B、[3+2
3
,+∞)
C、[-
7
4
,+∞)
D、[
7
4
,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)
的一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
,則a等于
 
,該雙曲線的離心率為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)圓C的圓心為雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)
的左焦點,且與此雙曲線的漸近線相切,若圓C被直線l:x-y+2=0截得的弦長等于
2
,則a等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若點O和點F(-2,0)分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的一點,并且P點與右焦點F′的連線垂直x軸,則線段OP的長為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1
的一個焦點坐標(biāo)為(-
3
,0)
,則其漸近線方程為( 。
A、y=±
2
x
B、y=±
2
2
x
C、y=±2x
D、y=±
1
2
x

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案