Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ．

（1）求證：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D為B1C1的中點(diǎn)，求AD與平面A1BC1所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，

∴AB1⊥BA1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1．

又∵A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，

∴A1C1⊥AB1．

∴AB1⊥平面A1BC1．

（2）解：設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是線段AB1的中點(diǎn)．

連接AC1，由題意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中線知：AD與C1O的交點(diǎn)為重心G，連接OG．

由（1） 知AB1⊥平面A1BC1，

∴OG是AD在平面A1BC1上的射影，

∴∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角．

在直角△AOG中，

AG= AD= AB1= AB，AO= AB，

∴sin∠AGO= = ．

∴∠AGO=60°，

即AD與平面A1BC1所成的角為60°．

【解析】（1）由題意先推導(dǎo)出A1C1⊥平面AA1B1B，從而得到A1C1⊥AB1 ， 由此能夠證明AB1⊥平面A1BC1 ． （2） 設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)O，由題設(shè)條件推導(dǎo)出AD與C1O的交點(diǎn)為重心G，連接OG，能推導(dǎo)出∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角，由此能求出AD與平面A1BC1所成的角的大�。�
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．