Question

（2010•棗莊模擬）對于函數(shù)f(x)=cos(

π

2

+x)sin(

3π

2

+x)，給出下列四個結論：①函數(shù)f（x）的最小正周期為π；②若f（x₁）=-f（x₂）則x₁=-x₂；③f（x）的圖象關于直線x=-

π

4

對稱；④f(x)在[

π

4

，

3π

4

]上是減函數(shù)，其中正確結論的個數(shù)為（　　）

A．2

B．4

C．1

D．3

Answer 1

分析：根據(jù)題意把函數(shù)解析式利用誘導公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡為f（x）=

1

2

sin2x，①根據(jù)周期公式可得函數(shù)周期為π；②可以舉例判斷其實錯誤的；③求出函數(shù)的所有對稱軸可驗證得③正確；④求出函數(shù)的所有單調減區(qū)間可得到④正確，進而得到正確結論的個數(shù)．

解答：解：根據(jù)題意得：函數(shù)f(x)=cos(

π

2

+x)sin(

3π

2

+x)=（-sinα）•（-cosα）=sinαcosα=

1

2

sin2α，
①根據(jù)周期公式可得：f（x）=

1

2

sin2x的周期為π．所以①正確；
②f（

π

6

）=-f（

2π

3

），但是不滿足x₁=-x₂，所以②錯誤；
③f（x）=

1

2

sin2x的所有對稱軸為x=

kπ

2

+

π

4

，顯然③正確；
④f（x）=

1

2

sin2x的單調減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，（k∈Z），顯然④正確，
則其中正確結論的個數(shù)為3．
故選D

點評：此題考查了正弦函數(shù)的單調性及對稱性，解決此類問題的關鍵是靈活利用誘導公式二倍角公式把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)，同時要求學生掌握三角函數(shù)的有關性質（單調性，周期性，奇偶性，對稱性等）．