Question

（2013•上海）已知函數(shù)f（x）=2-|x|，無(wú)窮數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*
（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；
（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，求a₁的值
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a₁，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意代入式子計(jì)算即可；
（2）把a(bǔ)₂，a₃表示為a₁的式子，通過(guò)對(duì)a₁的范圍進(jìn)行討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列可得關(guān)于a₁的方程，解出即可；
（3）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，即2a₂=a₁+a₃，亦即2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），分情況①當(dāng)a₁＞2時(shí)②當(dāng)0＜a₁≤2時(shí)③當(dāng)a₁≤0時(shí)討論，由（*）式可求得a₁進(jìn)行判斷；③當(dāng)a₁≤0時(shí)，由公差d＞2可得矛盾；

解答：解：（1）由題意，代入計(jì)算得a₂=2，a₃=0，a₄=2；
（2）a₂=2-|a₁|=2-a₁，a₃=2-|a₂|=2-|2-a₁|，
①當(dāng)0＜a₁≤2時(shí)，a₃=2-（2-a₁）=a₁，
所以a12=(2-a1)2，得a₁=1；
②當(dāng)a₁＞2時(shí)，a₃=2-（a₁-2）=4-a₁，
所以a1(4-a1)=(2-a1)2，得a1=2-

2

（舍去）或a1=2+

2

．
綜合①②得a₁=1或a1=2+

2

．
（3）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，那么a₂=2-|a₁|，
a₃=2-|2-|a₁||，由2a₂=a₁+a₃得2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），
以下分情況討論：
①當(dāng)a₁＞2時(shí)，由（*）得a₁=0，與a₁＞2矛盾；
②當(dāng)0＜a₁≤2時(shí)，由（*）得a₁=1，從而a_n=1（n=1，2，…），
所以{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列；
③當(dāng)a₁≤0時(shí)，則公差d=a₂-a₁=（a₁+2）-a₁=2＞0，
因此存在m≥2使得a_m=a₁+2（m-1）＞2，
此時(shí)d=a_m+1-a_m=2-|a_m|-a_m＜0，矛盾．
綜合①②③可知，當(dāng)且僅當(dāng)a₁=1時(shí)，a₁，a₂，…，a_n，…成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、等差關(guān)系等比關(guān)系的確定，考查分類討論思想，考查學(xué)生邏輯推理能力、分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．