（理） 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，點O為該正方形的中心，側(cè)棱PA=PC，PB=PD．
（1）求證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）設(shè)點Q是側(cè)棱PD的中點，且PD的長為2a．求異面直線OQ與AB所成角的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）

【答案】分析：（1）先根據(jù)PA=PC，得到PO⊥AC；同理PO⊥BD可得PO⊥平面ABCD； 再結(jié)合O是正方形ABCD的中心即可證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）以O(shè)為原點，正方形對角線為x，y軸，求出個對應(yīng)點的坐標(biāo)以及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，再代入由數(shù)量積求向量夾角的計算公式即可得到結(jié)論．
解答：解：（理）（1）連接PO，因為PA=PC，所以PO⊥AC；       （2分）
同理PO⊥BD；所以PO⊥平面ABCD；                   （4分）
又因為O是正方形ABCD的中心，
所以四棱錐P-ABCD是正四棱錐．（6分）
（2）解：以O(shè)為原點，正方形對角線為x，y軸，，，，，（10分）
設(shè)與的夾角為θ，則．設(shè)與的夾角為θ，則．
所以異面直線OQ與AB所成角的大小為．             （14分）
點評：本題主要考查異面直線及其所成的角以及棱錐的結(jié)構(gòu)特征．正四棱錐的要求是下底面為正方形，頂點在底面內(nèi)的射影為下底面的中心．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•靜安區(qū)一模）（理） 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，點O為該正方形的中心，側(cè)棱PA=PC，PB=PD．
（1）求證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）設(shè)點Q是側(cè)棱PD的中點，且PD的長為2a．求異面直線OQ與AB所成角的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年濱州市質(zhì)檢三理） 如圖，已知四棱錐P―ABCD的底面ABCD為等腰三角梯形，AB∥CD，AC⊥BC，AC∩BD=0，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又OB=2，OP=，PD⊥PD.

   （1）求二面角B―PA―D的余弦的絕對值；

   （2）在棱PC上是否存在點M，使PC⊥平面BMD？若存在，求出點M的位置；若不存在，試說明理由。

   （3）在（2）的條件下，求三棱錐C―BMD的體積.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年湖北鄂州5月模擬理）（12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60o，E、F 分別是BC、PC的中點．

⑴證明：AE⊥PD；

⑵若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正
切值為，求二面角E―AF―C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（理） 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，點O為該正方形的中心，側(cè)棱PA=PC，PB=PD．
（1）求證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）設(shè)點Q是側(cè)棱PD的中點，且PD的長為2a．求異面直線OQ與AB所成角的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（山東卷理）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.

（Ⅰ）證明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.

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