在直角坐標(biāo)系上取兩個(gè)定點(diǎn),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且.
(I)求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程;
(II)已知,設(shè)直線:與(I)中的軌跡交于、兩點(diǎn),直線、 的傾斜角分別為且,求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
(I);(II)定點(diǎn)為.
解析試題分析:(I)已知條件是,因此我們可以設(shè)直線與交點(diǎn)的坐標(biāo)為,把與建立起聯(lián)系,利用已知得到交點(diǎn)的軌跡方程,而這個(gè)聯(lián)系就是直線與的方程;(II)要證明直線過(guò)定點(diǎn),應(yīng)該求出的關(guān)系,而已知的是直線、 的傾斜角且,說(shuō)明它們的斜率之和為0,設(shè)直線與軌跡的交點(diǎn)為,則,,那么,變形得,這里,可由直線與軌跡的方程聯(lián)立,消去得關(guān)于的二次方程,由韋達(dá)定理得到,,代入上式可得到結(jié)論.
試題解析:(I)依題意知直線的方程為: ①,
直線的方程為: ②,
設(shè)是直線與的交點(diǎn),①×②得,
由 整理得,
∵不與原點(diǎn)為重合,∴點(diǎn)不在軌跡M上,
∴軌跡M的方程為.
(II)由題意知,直線的斜率存在且不為零,
聯(lián)立方程,得,設(shè)、則,且,,
由已知,得,∴,
化簡(jiǎn)得,
代入得,整理得.
∴直線的方程為,因此直線過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
考點(diǎn):(I)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程;(II)直線和橢圓相交問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
)如圖,橢圓:,、、、為橢圓的頂點(diǎn)
(Ⅰ)若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為,求橢圓方程;
(Ⅱ)已知:直線相交于,兩點(diǎn)(不是橢圓的左右頂點(diǎn)),并滿足 試研究:直線是否過(guò)定點(diǎn)? 若過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),與圓分別交于兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn),求直線的方程;
(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知A(-5,0),B(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足||,||,8成等差數(shù)列.
(1)求P點(diǎn)的軌跡方程;
(2)對(duì)于x軸上的點(diǎn)M,若滿足||·||=,則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的“比例點(diǎn)”.問(wèn):對(duì)任意一個(gè)確定的點(diǎn)P,它總能對(duì)應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在周長(zhǎng)為定值的DDEC中,已知,動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),有最小值.
(1)以DE所在直線為x軸,線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線G的方程;
(2)直線l分別切橢圓G與圓(其中)于A、B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在軸上方有一段曲線弧,其端點(diǎn)、在軸上(但不屬于),對(duì)上任一點(diǎn)及點(diǎn),,滿足:.直線,分別交直線于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用表示);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(I)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(II)如果,證明直線l必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線焦點(diǎn)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線相交于,兩點(diǎn)
(Ⅰ)若線段的中點(diǎn)在直線上,求直線的方程;
(Ⅱ)若線段,求直線的方程
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