Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若有極值0，求實(shí)數(shù)，并確定該極值為極大值還是極小值；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由極值定義得必有解，所以，且，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)先減后增，且最小值為，解得實(shí)數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定該極值為極大值還是極小值；（2）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（遞增），再根據(jù)羅比特法則求最小值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ） ．

①若， ， 在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；

②若，令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增．

所以，當(dāng)時(shí)， 取到極小值， ，即．

令，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增．

又，所以有唯一解．

（Ⅱ）據(jù)（Ⅰ），，當(dāng)時(shí)， 恒成立，

即（）恒成立．

令（），則，

令（），則，

， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．

①當(dāng)時(shí)， ， 在單調(diào)遞增，

所以，即，

即，所以在單調(diào)遞增，

所以，所以，

所以，即恒成立．

②當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)， ，

所以，故在單調(diào)遞增，

所以，即，

所以在單調(diào)遞增，所以，

所以，即恒成立．

③當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)， ，

當(dāng)時(shí)， ， ，

所以，則，使得，

當(dāng)時(shí)， ， 在遞減，

此時(shí)，即， ，

所以在遞減， ，不符合題意．

綜上所述， 的取值范圍是．