【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,四邊形是梯形,,,平面平面,且.

(Ⅰ)求證:∥平面

(Ⅱ)求二面角的大。

(Ⅲ)已知點在棱上,且異面直線所成角的余弦值為,求線段的長.

【答案】(1)證明見解析;(2);(3).

【解析】

先利用線面垂直的性質(zhì)證明直線平面,以點為原點,分別以的方向為軸,軸,軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,(1)可得是平面的一個法向量,求得,利用,且直線平面可得結(jié)果;(2)利用向量垂直數(shù)量積為0,列方程組分別求出平面與平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;(3)設(shè),則,

,可得, 解方程可得結(jié)果.

(1)平面平面,

平面平面 ,

,

直線平面.

由題意,以點為原點,分別以的方向為軸,軸,軸的正向建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則可得:,

.

依題意,易證:是平面的一個法向量,

, ,

直線平面 .

(2) .

設(shè)為平面的法向量,

,即.

不妨設(shè),可得.

設(shè)為平面的法向量,

,即.

不妨設(shè),可得,

,

又二面角為鈍二面角,

二面角的大小為.

(3)設(shè),則,又,

,即,

,解得(舍去).

故所求線段的長為.

練習(xí)冊系列答案
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(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤zx,y的關(guān)系為,根據(jù)(1)中的結(jié)果回答下列問題:

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②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費,才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.

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