在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”,對于任意給定的a,b∈R,a*b為唯一確定的實(shí)數(shù),且具有性質(zhì);
(1)對任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)對任意a∈R,a*0=a;
(3)對任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.
關(guān)于函數(shù)f(x)=(3x)*(
1
3x
)
的性質(zhì),有如下說法:
①函數(shù)f(x)的最小值為3;
②函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-
1
3
),(
1
3
,+∞)

其中所有正確說法的序號為
分析:對于新定義的運(yùn)算問題常常通過賦值法得到一般性的結(jié)論,對f(x)的解析式進(jìn)行化簡,利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性和最值,再利用函數(shù)奇偶性的定義分析出函數(shù)的奇偶性,可得答案.
解答:解:由新運(yùn)算“*”的定義(3)令c=0,則a*b=ab+a+b
f(x)=(3x)*(
1
3x
)
=1+3x+
1
3x
,
∴f′(x)=3-
1
3x2
,令f′(x)=0
則x=±
1
3
,
∵當(dāng)x∈(-∞,-
1
3
),(
1
3
,+∞)
時,f′(x)>0
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-
1
3
),(
1
3
,+∞)
正確;
根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得
在區(qū)間(-∞,-
1
3
),(
1
3
,+∞)
上,函數(shù)圖象向下,向上無限延長
故函數(shù)f(x)的最小值為3錯誤;
又∵f(-x)=1-3x-
1
3x
與-f(x)=-1-3x-
1
3x
不相等,
故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)錯誤
故答案為:③
點(diǎn)評:本題是一個新定義運(yùn)算型問題,考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及同學(xué)們類比運(yùn)算解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”,對任意a,b∈R,a*b為唯一確定的實(shí)數(shù),且具有性質(zhì):
(1)對任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)對任意a∈R,a*0=a;
(3)對任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.
關(guān)于函數(shù)f(x)=(2x)*
1
2x
的性質(zhì),有如下說法:
①函數(shù)f(x)的最小值為3;
②函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-
1
2
),(
1
2
,+∞)

其中所有正確說法的個數(shù)為( 。
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“△”,且對任意a,b∈R,具有性質(zhì):
①a△b=b△a;   ②a△0=a;③(a△b)△c=c△(a•b)+(a△c)+(b△c)+c,則函數(shù)f(x)=|x|△
1|x|
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•內(nèi)江二模)在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“⊕”,對任意a,b⊕b為唯一確定的實(shí)數(shù)且具有性質(zhì):
(1)對任意a,b∈R,有a⊕b=b⊕a;
(2)對任意a∈R,有a⊕0=a;
(3)對任意a,b,c∈R,有(a⊕b)⊕c=c⊕(ab)+(a⊕c)+(c⊕b)-2c.
已知函數(shù)f(x)=x⊕
1x
,則下列命題中:
(1)函數(shù)f(x)的最小值為3;
(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)、(1,+∞).
其中正確例題的序號有
(3)
(3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•內(nèi)江二模)在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“⊕”,對任意a,b∈R,a⊕b為唯一確定的實(shí)數(shù)且具有性質(zhì):
(1)對任意a,b∈R,有a⊕b=b⊕a;
(2)對任意a∈R,有a⊕0=a;
(3)對任意a,b,c∈R,有(a⊕b)⊕c=c⊕(ab)+(a⊕c)+(c⊕b)-2c.
已知函數(shù)f(x)=x2
1x2
,則下列命題中:
(1)函數(shù)f(x)的最小值為3;
(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)、(1,+∞).
其中正確例題的序號有
(1)(3)
(1)(3)

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