Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，na_n+1=2S_n
（1）求a₃，a₄，a₅的值；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若b_n=

2

(n+2)an

，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求得a₃，a₄，a₅的值；
（2）把已知的數(shù)列遞推式變形，然后利用累積法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）把（2）中求得的通項(xiàng)公式代入b_n=

2

(n+2)an

，然后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）由a₁=1，na_n+1=2S_n，得
a₂=2a₁=2，
2a₃=2（a₁+a₂），a₃=3，
3a₄=2（a₁+a₂+a₃），a₄=4，
4a₅=2（a₁+a₂+a₃+a₄），a₅=5；
（2）∵na_n+1=2S_n，
∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），兩式相減得，na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

，
∴a_n=a1×

a2

a1

×…×

an

an-1

=n（n≥2），
a₁=1滿足上式，故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n（n∈N^*）；
（3）b_n=

2

(n+2)an

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，訓(xùn)練了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．