【題目】如圖,,是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn),,是該橢圓的左、右焦點(diǎn),,是直線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,它們分別與橢圓交于點(diǎn),兩點(diǎn),且線段恰好過橢圓的左焦點(diǎn).當(dāng)時(shí),點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(Ⅱ)判斷以為直徑的圓與直線位置關(guān)系,并加以證明.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)以為直徑的圓始終與直線相切

【解析】

(Ⅰ)由當(dāng)時(shí),點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn),得到,再由,即可求出,得到橢圓方程;

(Ⅱ)先由題意可知直線不可能平行于軸,設(shè)的方程為:,、,聯(lián)立直線與橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等,結(jié)合題中條件,即可得出結(jié)論.

解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn),

,又,聯(lián)立解得:,,

橢圓的方程為.

(Ⅱ)由題意可知直線不可能平行于軸,

設(shè)的方程為:、,

聯(lián)立得: ,

,

(*)

又設(shè),由、、三點(diǎn)共線得,

同理可得.

.

設(shè)中點(diǎn)為,則坐標(biāo)為

點(diǎn)到直線的距離.

故以為直徑的圓始終與直線相切.

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