Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若，.

①當(dāng)時(shí)，證明：；

②若有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，且，證明：；

（2）討論的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

【解析】

（1）①表示出的解析式，代入，求得，即可根據(jù)函數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性，從而求得最小值，即可證明不等式成立；②根據(jù)零點(diǎn)定義可代入的解析式，相減后根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算表示出令，即可用表示構(gòu)造函數(shù)，并求得導(dǎo)函數(shù)，即可由的符號(hào)確定的單調(diào)性，從而求得的最大值，即可得.從而，即可證明.

（2）將代入可得解析式，并求得，并令。對(duì)分、、和四種情況討論，即可確定的符號(hào)，從而判斷的單調(diào)性.

（1）證明：，.

（i）當(dāng)時(shí)，，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故.

（ii）由題意得，，，

兩式相減得，

，，.

令，其中，則，

令，則，

所以在上是增函數(shù)，

故，即，即.

，，

即，

.

（2），

的定義域?yàn)?/span>，且.

令，，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即恒成立，

所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得，，

所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.