Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）只需證明f(x)的導(dǎo)函數(shù)恒成立，且不恒等于0.注意定義域和參數(shù)的范圍。（2）當(dāng)時(shí)， ，其定義域是，通過求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性及極值可知函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于（1,0）點(diǎn)，其余點(diǎn)均在x軸下方，所以只有一個(gè)零點(diǎn)。

試題解析：（1）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.　

∴ .

∵， ，∴， ，∴，

所以函數(shù)在上是減函數(shù).

（2）當(dāng)時(shí)， ，其定義域是，

∴.　

令，即，解得或.

∵，∴舍去.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .　

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為，

當(dāng)時(shí)， ，即，

∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).