Question

如圖，已知過點(diǎn)D（-2，0）的直線l與橢圓

x2

2

+y²=1交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）若

OP

=

OA

+

OB

，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）求|

MD

MA

|的取值范圍

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)直線與x軸平行時，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)出直線l的方程及A，B，M，P的坐標(biāo)，橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，進(jìn)而聯(lián)立消去m，即可求得P點(diǎn)的軌跡方程．
（Ⅱ）先看當(dāng)l∥x軸時，A，B分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，求得|MD|，|MA|進(jìn)而求得|

MD

MA

|的值；再看與x軸不平行時，根據(jù)弦長公式求得|MD|和|MA|的表達(dá)式，進(jìn)而求得|

MD

MA

|的表達(dá)式，根據(jù)m的范圍確定|

MD

MA

|的取值范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）①若直線l∥x軸，則點(diǎn)P為（0，0）；
②設(shè)直線l：x=my-2，
并設(shè)點(diǎn)A，B，M，P的坐標(biāo)分別是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），P（x，y），
由

x=my-2 x2+2y2=2

消去x，得（m²+2）y²-4my+2=0，①
由直線l與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，可得△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，即8（m²-2）＞0，所以m²＞2
由

OP

=

OA

+

OB

及方程①，得y=y₁+y₂=

4m

m2+2

，
x=x₁+x₂=（my₁-2）+（my₂-2）=-

8

m2+2

，
即

x=- 8 m22 y= 4m m2+2

由于m≠0（否則，直線l與橢圓無公共點(diǎn)），
將上方程組兩式相除得，m=-

2y

x

，代入到方程x=-

8

m2+2

，
得x=-

8

(- 2y x )2+2

，整理，得x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）
綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）

（Ⅱ）①當(dāng)l∥x軸時，A，B分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，
所以，|MD|=2，|MA|=

2

，所以，

|MD|

|MA|

=

2

②由方程①，得y₀=

y1+y2

2

=

2m

m2+2

，
|MD|=

1+m2

|y₀-y_D|=

1+m2

2|m|

m2+2

|MA|=|=

1+m2

|y₀-y₁|=

1+m2

|y1-y2|

2

=|=

1+m2

2 m2-2

m2+2

|MD|

|MA|

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

m²＞2，-

2

m2

∈（1，0），

1- 2 m2

∈（0，1），

|MD|

|MA|

∈[

2

，+∞）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題．常需要把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找打解決問題的突破扣．