Question

【題目】如圖，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且平面與平面互相垂直．若多面體的體積為，則該多面體外接球表面積的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)正方形的邊長為a，矩形的高為b，則長為，由面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理可分別證得平面與平面，且由對稱性以及棱錐的體積公式表示多面體的體積，進而得到，再由球體的表面積公式表示表面積，最后用基本不等式求得最值即可.

設(shè)正方形的邊長為a，矩形的高為b，則長為，

因為正方形，則，設(shè)，又因為平面與平面互相垂直，平面，平面平面，

所以平面，故，

由題意可知，，則，即，

設(shè)矩形的對角線的交點為O，鏈接，可得，而平面，且平面與平面互相垂直，平面平面，所以平面，可得（R為外接球的半徑），

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

故外接球的表面積為

故選：A