Question

若直線y=x+m與曲線x=

2y-y2

有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

0＜m≤2，或m=1-

2

．

Answer 1

分析：曲線x=

2y-y2

代表以點(diǎn)（0，1）為圓心，1為半徑的圓的右半圓，而直線y=x+m的斜率為1，截距為m，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象，數(shù)形結(jié)合可得．

解答：解：對(duì)x=

2y-y2

平方可得x²+y²-2y=0，整理可得x²+（y-1）²=1，
故曲線x=

2y-y2

代表以點(diǎn)（0，1）為圓心，1為半徑的圓的右半圓，
而直線y=x+m的斜率為1，截距為m，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象：

由圖象可得當(dāng)直線介于l₁，l₂之間，或?yàn)閘₃時(shí)兩圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
由l₃為相切可得

|0-1+m|

12+(-1)2

=1，解得m=1-

2

，或m=1+

2

，（舍去）
故當(dāng)0＜m≤2或m=1-

2

時(shí)，滿足題意，
故答案為：0＜m≤2，或m=1-

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．