Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論方程的實(shí)數(shù)根的情況.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

【解析】試題分析: (1)求出,利用兩直線垂直,求出 的值; (2)設(shè) ，利用單調(diào)性求出, 分類討論: ,得出結(jié)果.

試題解析:（1）依題意，得，

所以，

又由曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，可得，

所以，解得；

（2）方程，即.

當(dāng)時(shí)，得，解得，

當(dāng)時(shí)，解得.但是，即，所以時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

令，則，

故當(dāng)時(shí)， 是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以.

當(dāng)時(shí)，由，得.

又，令，則在區(qū)間上，故為增函數(shù)，所以，即，所以.

，故當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)睛: 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),屬于中檔題.

【一題多解】在(2)中,由有,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),當(dāng)與相切時(shí),切點(diǎn)為,又,所以此時(shí)無(wú)零點(diǎn);由圖象知,當(dāng)時(shí)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即有兩個(gè)零點(diǎn), ,圖象沒(méi)有交點(diǎn),無(wú)零點(diǎn),綜上討論,得出結(jié)論: 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 無(wú)實(shí)數(shù)根.