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【題目】設F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，A1，A2分別為這個雙曲線的左、右頂點，P為雙曲線右支上的任意一點．求證：以A1A2為直徑的圓既與以PF2為直徑的圓外切，又與以PF1為直徑的圓內切．

【答案】見解析

【解析】

分別求出以A1A2為直徑的圓、以PF1為直徑的圓和以PF2為直徑的圓的圓心和半徑，運用中位線定理和雙曲線的定義，結合兩圓相切的條件即可得證．

如圖，以A1A2為直徑的圓的圓心為O，半徑為a.令M，N分別是PF2，PF1的中點．由三角形中位線的性質，得|OM|＝|PF1|.

又根據雙曲線的定義，得 |PF1|＝2a＋|PF2|.從而有|OM|＝ (2a＋|PF2|)＝a＋|PF2|.這表明，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和，故以A1A2為直徑的圓與以PF2為直徑的圓外切．

同理，得|ON|＝|PF2|＝ (|PF1|－2a)＝|PF1|－a.這表明兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差，故以A1A2為直徑的圓與以PF1為直徑的圓內切．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列三圖中的多邊形均為正多邊形，M，N是所在邊的中點，雙曲線均以圖中的F1 ， F2為焦點，設圖示①②③中的雙曲線的離心率分別為e1 ， e2 ， e3、則e1 ， e2 ， e3的大小關系為（　　）

A.e1＞e2＞e3
B.e1＜e2＜e3
C.e2=e3＜e1
D.e1=e3＞e2

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于實數a、b、c，有下列命題：①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2；④若c>a>b>0，則；⑤若a>b，，則a>0，b<0.其中正確的是________．(填寫序號)

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且 是1與an的等差中項．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設Tn為數列{ }的前n項和，證明： ≤Tn＜1（n∈N*）．

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【題目】已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為 為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin（θ+ ）=2 ．
（1）求曲線C在極坐標系中的方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】數學家歐拉在1765年發(fā)現，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知的頂點，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過其右焦點F且與x軸垂直的直線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右頂點為R，且滿足.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為k(其中)的直線l過點F，且與橢圓交于點A，B，弦AB的中點為M，直線OM與橢圓交于點C，D，求四邊形ACBD面積的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】先把函數y=sin（x+φ）的圖象上個點的橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），再向右平移 個單位，所得函數關于y軸對稱，則φ的值可以是（ ）
A.
B.
C.-
D.-

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（a>b>0）的上、下、左、右四個頂點分別為A，B，C，D，x軸正半軸上的點P滿足|PA|=|PD|=2，|PC|=4。

（I）求橢圓C的標準方程以及點P的坐標；

（II）過點P作直線l交橢圓C于點M，N，是否存在這樣的直線l使得△MNA和△MND的面積相等？若存在，請求出直線l的方程，若不存在，請說明理由；

（III）在（II）的條件下，求當直線l的傾斜角為鈍角時△MND的面積。

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