在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,則△ABC的形狀是( 。
A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形
分析:通過(guò)(a+b+c)(b+c-a)=3bc化簡(jiǎn)整理得b2-bc+c2=a2,利用余弦定理中求得cosB,進(jìn)而求得B=60°,把B代入sinA=2sinB cosC中化簡(jiǎn)整理求得tanA,進(jìn)而求得A,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得C,進(jìn)而可判斷三角形的形狀.
解答:解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc
∴[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc
∴(b+c)2-a2=3bc
b2+2bc+c2-a2=3bc
b2-bc+c2=a2
根據(jù)余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA
∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=
1
2

∴A=60°
sinA=2sinBcosC
sin(B+C)=2sinBcosC
∴sin(B-C)=0
B=C,∵A=60°,∴B=C=60°
∴△ABC是等邊三角形
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用.要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,若
BC
=
a
,
CA
=
b
,
AB
=
c
a
b
=
b
c
=
c
a
,則△ABC的形狀是△ABC的( 。
A、銳角三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等邊三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,若
BC
=
a
,
AC
=
b
AB
=
c
,且
|b|
=2
3
,
a
•cosA+
c
•cosC=
b
•sinB

(1)斷△ABC的形狀;
(2)求
a
c
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,則△ABC是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),則A等于( 。

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