Question

已知函數f（x）=（x-1）²，數列{a_n}是公差為d的等差數列，數列{b_n}是公比為q（q∈R且q≠1）的等比數列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設數列{C_n}對任意正整數n均有

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1成立，求{C_n}的通項；
（3）試比較

3bn-1

3bn+1

與

an+1

an+2

的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件直接求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）通過

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1，列出n-1的表達式，作差即可求{C_n}的通項公式；
（3）分別計算

3bn-1

3bn+1

與

an+1

an+2

的表達式，通過二項式定理，證明判斷的結果即可．

解答：解：（1）∵數列{a_n}是公差為d的等差數列a₁=（d-2）²，a₃=d²
∴a₃-a₁=4d-4=2d∴d=2，a₁=0∴a_n=2n-2…（2分）
同理：b_n=3^n-1…（4分）
（2）∵

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1
∴

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn-1

bn-1

=an(n≥2)
以上兩式相減：

Cn

bn

=an+1-an(n≥2)
∴

Cn

bn

=2(n≥2)⇒Cn=2bn(n≥2)…（6分）
∴C_n=2•3^n-1（n≥2），經檢驗，n=1仍然成立
∴C_n=2•3^n-1…（8分）
（3）

3bn-1

3bn+1

=

3n-1

3n+1

；

an+1

an+2

=

n

n+1

∴

3bn-1

3bn+1

-

an+1

an+2

=

3n-1

3n+1

-

n

n+1

=

3n-2n-1

(3n+1)•(n+1)

…（9分）
當n=1時，

3bn-1

3bn+1

=

an+1

an+2

當n≥2時，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰2⁰+C_n¹2¹+…+C_nⁿ2ⁿ＞2n+1
∴

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

綜上所述：n=1時，

3bn-1

3bn+1

=

an+1

an+2

，
n≥2時，

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

…（12分）

點評：本題考查數列通項公式的求法，二項式定理的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．