Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，若直線： 與曲線沒有公共點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)， 有極小值為，無極大值.

（2）.

【解析】試題分析：（1）求得，可分和兩種情況分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，把直線： 與曲線沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，即在上沒有實(shí)數(shù)解，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）定義域?yàn)?/span>， .

①當(dāng)時(shí)， ， 為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值.

②當(dāng)時(shí)，令，解得.

當(dāng)， ， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)， ， 在上單調(diào)遞增.

故在處取得極小值，且極小值為，無極小值.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；

當(dāng)時(shí)， 有極小值為，無極大值.

（2）當(dāng)時(shí)， ，

直線： 與曲線沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程

在上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，

即在上沒有實(shí)數(shù)解.

令，則有.令，解得，

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

且當(dāng)時(shí)， ； 時(shí)， 的最大值為；當(dāng)時(shí)， ，

從而的取值范圍為.

所以當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，

解得的取值范圍是.