【題目】已知：橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，是橢圓上異于的兩個(gè)動點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)：.

【解析】

（1）通過橢圓的焦距為2，求出．結(jié)合橢圓經(jīng)過點(diǎn)，列出方程組求解，，得到橢圓方程．

（2）設(shè)，、，，

①直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，利用韋達(dá)定理推出，的關(guān)系式，利用向量的數(shù)量積推出，得到直線系，然后求解直線經(jīng)過的定點(diǎn)；

②直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，判斷直線經(jīng)過的定點(diǎn)即可．

解：（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)

所以解得

所以；

（2）設(shè)，

①直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立可得，，

∴(*)且，

∵，∴，

即，

化簡得，

將(*)式代入，得，，

∴，即或(舍，此時(shí)直線過點(diǎn))

∴直線的方程為，過定點(diǎn)；

②直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，

可設(shè)，且，由，

即，解得或(舍)，

此時(shí)直線的方程為，也過定點(diǎn)；

綜上，直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且橢圓過點(diǎn).過點(diǎn)做兩條相互垂直的直線、分別與橢圓交于、、、四點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若， ，探究：直線是否過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

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【題目】已知橢圓E：（）的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，，過點(diǎn)P的直線斜率為k，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，證明：三點(diǎn)B、、C共線；

（3）若點(diǎn)B在一象限，A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓Γ：1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2．短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與F1，F2構(gòu)成面積為2的正方形，

（1）求Γ的方程：

（2）如圖所示，過右焦點(diǎn)F2的直線1交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，連接AO交Γ于點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值．

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【題目】已知函數(shù)，，則方程所有根的和等于（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知、是橢圓上不同的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）證明：直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為1，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請給出理由．

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【題目】已知、是橢圓上不同的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）證明：直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為1，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請給出理由．

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B. 線性回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心

C. 在平面直角坐標(biāo)系中到點(diǎn)和的距離的和為的點(diǎn)的軌跡為橢圓

D. 在銳角中，有

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【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足任意都有，且時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（ ）

A. B.

C. D.

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