Question

已知如圖，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大��；

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大��；

（Ⅲ）求側(cè)棱B₁B和側(cè)面A₁ACC₁的距離.

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖，（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足為D，由面A1ACC1⊥面ABC， 得A1D⊥面ABC ∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角. ∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C， ∴∠A1AD＝45°為所求. （Ⅱ）作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB. ∴∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角. 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.又D是AC的中點(diǎn)，BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A1D＝，tanA1ED＝＝. 故∠A1ED＝60°為所求. （Ⅲ）作BF⊥AC，F為垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1. ∵B1B∥面A1ACC1， ∴BF的長是B1B和面A1ACC1的距離. 在Rt△ABC中，AB＝， ∴BF＝為所求.