Question

【題目】如果函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且存在實(shí)常數(shù)，使得對于定義域內(nèi)任意，都有成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”.

（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，求出所有的值的集合，若不具有“性質(zhì)”，請說明理由；

（2）已知函數(shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）已知函數(shù)既具有“性質(zhì)”，又具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的圖像與直線有2017個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），函數(shù)的值域?yàn)?/span>；，函數(shù)的值域?yàn)?/span>；，函數(shù)的值域?yàn)?/span>；，函數(shù)的值域?yàn)?/span>；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，由待定系數(shù)法可求得；

（2）由新定義可推出為偶函數(shù)，從而求出在上的解析式，討論m與的關(guān)系判斷的單調(diào)性得出的最值；
（3）根據(jù)新定義可知為周期為2的偶函數(shù)，作出的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出p的值.

（1）假設(shè)具有“性質(zhì)”，則恒成立，

等式兩邊平方整理得，，因?yàn)榈仁胶愠闪ⅲ?/span>

所以，解得，

則所有的值的集合為；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)具有“性質(zhì)”，

所以恒成立，是偶函數(shù).
設(shè)，則，.
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，值域?yàn)?/span>.
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，，值域?yàn)?/span>.
③當(dāng)時(shí)，，，值域?yàn)?/span>.
④時(shí)，函數(shù)在上遞減，值域?yàn)?/span>.
（3）既具有“性質(zhì)”，即，函數(shù)為偶函數(shù)，
又既具有“性質(zhì)”，即，
函數(shù)是以2為周期的函數(shù).
作出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線交于點(diǎn)，即有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不合題意.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)有1008個(gè)周期，要使函數(shù)的圖象與直線有2017個(gè)交點(diǎn)，
則直線與函數(shù)y=g(x)的圖像在每個(gè)周期內(nèi)都應(yīng)有2個(gè)交點(diǎn)，且第2017個(gè)交點(diǎn)恰好為，所以，
同理，當(dāng)時(shí)，，
綜上，.