Question

是否存在常數(shù)a,b使等式對(duì)于一切n∈N*都成立？若存在，求出a,b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構(gòu)造三個(gè)方程求出a，b，c，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

試題解析：【解析】
若存在常數(shù)a，b使得等式成立，將n＝1，n＝2代入等式

有：

即有： 4分

對(duì)于n為所有正整數(shù)是否成立，再用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立。 5分

（2）假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即

7分

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即

11分

也就是說(shuō)n＝k＋1時(shí)，等式成立，

則：

∴＝60?

故：MD與平面OAC所成角為30? 8分

（3）設(shè)平面OBD的法向量為＝(x，y，z)，則

取＝(2，2，1)

則點(diǎn)A到平面OBD的距離為d＝ 12分

方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。

∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形

∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC 4分

（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，則∠DME是直線(xiàn)MD與平面OAC折成的角

∵MD＝，DE＝

∴直線(xiàn)MD與平面OAC折成的角為30? 8分

（3）作AH⊥OE于點(diǎn)H。

∵BD⊥平面OAC

∴BO⊥AH

線(xiàn)段AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OBD的距離。

∴AH＝

∴點(diǎn)A到平面OBD的距離為 12分

考點(diǎn)：1. 線(xiàn)面垂直的的判斷定理；2.線(xiàn)面成角.