Question

若關(guān)于x的不等式|2x-1|-|x-3|＜m在x∈[0，4]上有解，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：不等式|2x-1|-|x-3|＜m在x∈[0，4]上有解，等價(jià)于f（x）_min＜m，令f（x）=|2x-1|-|x-3|，按照0≤x≤

1

2

，

1

2

＜x≤3，3＜x≤4三種情況進(jìn)行討論，可求得x∈[0，4]時(shí)，f(x)min=-

5

2

，從而可得答案．

解答：解：令f（x）=|2x-1|-|x-3|，
①當(dāng)0≤x≤

1

2

時(shí)，f（x）=-（2x-1）+（x-3）=-x-2，
此時(shí)，-

5

2

≤f（x）≤-2；
②當(dāng)

1

2

＜x≤3時(shí)，f（x）=（2x-1）+（x-3）=3x-4，
此時(shí)，-

5

2

＜f（x）≤5；
③當(dāng)3＜x≤4時(shí)，f（x）=（2x-1）-（x-3）=x+2，
此時(shí)，5＜f（x）≤6；
綜上，x∈[0，4]時(shí)，f(x)min=-

5

2

，
又不等式|2x-1|-|x-3|＜m在x∈[0，4]上有解，等價(jià)于f（x）_min＜m，
∴m＞-

5

2

，即m的取值范圍為：（-

5

2

，+∞），
故答案為：（-

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．