(14分)設(shè)F1、F2分別為橢圓C =1(ab>0)的左、右兩個焦點(diǎn).

(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);

(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;

(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PMPN的斜率都存在,并記為kPMkPN時,那么kPMkPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.

 

【答案】

(1)橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0).

(2)為所求的軌跡方程.

(3)kPM·kPN=.證明略

【解析】解:(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,由橢圓上的點(diǎn)AF1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4,得2a=4,即a=2.又點(diǎn)A(1,)在橢圓上,因此=1得b2=3,于是c2=1.

所以橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0).

(2)設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為Kx1y1),線段F1K的中點(diǎn)Qx,y)滿足:

, 即x1=2x+1,y1=2y.

因此=1.即為所求的軌跡方程.

(3)類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線:=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時,那么kPMkPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n),其中=1.

又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xy),由

kPM·kPN=,將m2b2代入得kPM·kPN=.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右兩個焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)A(1,
3
2
)
到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動點(diǎn)Q(0.
1
2
)
求|PQ|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的左、右兩個焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)數(shù)學(xué)公式到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動點(diǎn)數(shù)學(xué)公式求|PQ|的最大值.

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