Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：=1(A＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，3[]2）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);

（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程;

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM?,k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線=1具有類似特性的性質(zhì)并加以證明.

Answer 1

解:（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2A=4,即A=2.?

又點(diǎn)A（1，3[]2）在橢圓上，因此+=1，b²=3.??

∴C²=A²-b²=1.?

∴橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F₁（-1，0），F₂（1，0）.??

（2）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K（x,y），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x,y）滿足：x=,y=,

∴x₁=2x+1,y₁=2y.?

∴=1，即(x+)²+=1為所求的軌跡方程.?

（3）類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（M,n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-M,-n）,其中=1.

又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），由k_PM=,?

k_PN=得k_PM·k_PN=·=^.?

將y²=x²-b²,n²=M²-b²代入,得k_PM·k_PN=