【題目】已知橢圓:的離心率,過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為,
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)與橢圓交于,兩點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2),或.
【解析】試題分析:(1)由題意,根據(jù)離心率定義得到與的關(guān)系式,再由點(diǎn)求出直線的方程,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,得到與的關(guān)系式,再結(jié)合,從而得出橢圓方程;(2)根據(jù)題意,可將直線斜率存在與否進(jìn)行分類討論,由“線段為直徑”,得,再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,從而解決問題.
試題解析:(1)由已知得,因?yàn)檫^橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為,所以 ,解得
故所求橢圓的方程:
(2)橢圓左焦點(diǎn),
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線與橢圓交于兩點(diǎn),顯然不存在滿足條件的直線.………6分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線
聯(lián)立,消得,
由于直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn),所以直線必定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),恒成立
設(shè)則,
若以為直徑的圓過點(diǎn),則,即 (*)
而,代入(*)式得,
即,解得,
即或.
所以存在或使得以線段MN為直徑的圓過原點(diǎn).
故所求的直線方程為,或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 =l (a>b>0)的焦距為2,離心率為 ,橢圓的右頂點(diǎn)為A.
(1)求該橢圓的方程:
(2)過點(diǎn)D( ,﹣ )作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,求證:直線AP,AQ的
斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 底面, ,過點(diǎn)的平面與棱, , 分別交于點(diǎn), , (, , 三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面,求的值;
(Ⅲ)直線是否可能與平面平行?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某工廠和兩車間工人掌握某技術(shù)情況,現(xiàn)從這兩車間工人中分別抽查名和名工人,經(jīng)測試,將這名工人的測試成績編成的莖葉圖。若成績?cè)?/span>以上(包括)定義為“良好”,成績?cè)?/span>以下定義為“合格”。已知車間工人的成績的平均數(shù)為,車間工人的成績的中位數(shù)為.
(1)求,的值;
(2)求車間工人的成績的方差;
(3)在這名工人中,用分層抽樣的方法從 “良好”和“及格”中抽取人,再從這人中選人,求至少有一人為“良好”的概率。
(參考公式:方差)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:經(jīng)過,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),,且與圓心為的定圓相切.直線:()與圓交于兩點(diǎn),.求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)A(3,-1)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有____條,方程為:_____
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判,設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為 ,各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立,第1局甲當(dāng)裁判.
(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, 平面,點(diǎn), 分別為, 的中點(diǎn),且, .
(1)證明: 平面;
(2)設(shè)直線與平面所成角為,當(dāng)在內(nèi)變化時(shí),求二面角的取值范圍.
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