Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，m）可以作出曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲確定函數(shù)的表達(dá)式，先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，-2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）先設(shè)切點(diǎn)為（x，y），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何是切線的斜率，列出關(guān)于（x，的一個(gè)方程，然后根據(jù)此方程必須有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合相應(yīng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，最后利用函數(shù)的極值點(diǎn)列出不等關(guān)系即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根據(jù)題意，得即
解得
所以f（x）=x³-3x．（4分）
（II）設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則y=x³-3x，f'（x）=3x²-3，切線的斜率為3x²-3
則3x²-3=，即2x³-6x²+6+m=0．（6分）
∵過(guò)點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x³-6x²+6+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，（8分）
∴函數(shù)g（x）=2x³-6x²+6+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴g（x）的極大值為正、極小值為負(fù)（10分）
則g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2，列表：

由，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是-6＜m＜2．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的零點(diǎn)、直線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．