Question

【題目】已知集合，對(duì)于集合的兩個(gè)非空子集， ，若，則稱為集合的一組“互斥子集”．記集合的所有“互斥子集”的組數(shù)為 (視與為同一組“互斥子集”)．

（1）寫出， ， 的值；

（2）求．

Answer 1

【答案】（1）， ， ．（2）．

【解析】試題分析：分別對(duì)三種情況研究集合的非空子集，并找出交集為空集的子集對(duì)數(shù)，得出，任意一個(gè)元素只能在集合， ， 之一中，則這個(gè)元素在集合， ， 中，共有種； 減去為空集的種數(shù)和 為空集的種數(shù)加1，又與為同一組“互斥子集”，得出.

試題解析：（1）， ， ．

（2）解法一：設(shè)集合中有k個(gè)元素， ．

則與集合互斥的非空子集有個(gè)．

于是 ．

因?yàn)?/span>，

，

所以．

解法二：任意一個(gè)元素只能在集合， ， 之一中，

則這個(gè)元素在集合， ， 中，共有種；

其中為空集的種數(shù)為， 為空集的種數(shù)為，

所以， 均為非空子集的種數(shù)為，

又與為同一組“互斥子集”，

所以．