Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）

【解析】

(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)當(dāng)時(shí)，，，

由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

(2)由得，，其中，

①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；

②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，

記，，

令，

則，，

故單調(diào)遞增，，

故函數(shù)單調(diào)遞增，，

由可得：恒成立，

故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

因此，,

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.