Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，試討論的單調(diào)性；

（2）若，實數(shù)為方程的兩不等實根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，

分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進而得證.

（1）依題意，當(dāng)時，，

①當(dāng)時，恒成立，此時在定義域上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，若，；若，；

故此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）方法1：由得

令，則，

依題意有，即，

要證，只需證（不妨設(shè)），

即證，

令，設(shè)，則，

在單調(diào)遞減，即，從而有.

方法2：由得

令，則，

當(dāng)時，時，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)，則，

要證，只需證，易知，

故只需證，即證

令，（），

則

==，

（也可代入后再求導(dǎo)）

在上單調(diào)遞減，，

故對于時，總有.由此得