Question

設(shè)數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和S_n=n²，數(shù)列{b_n} 滿足bn=

an

an+m

(m∈N*)．
（Ⅰ）若b₁，b₂，b₈ 成等比數(shù)列，試求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m，使得數(shù)列{b_n} 中存在某項(xiàng)b_t 滿足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)指出符合題意的m
的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用當(dāng)n≥2 時(shí)，a_n=S_n-S_n-1求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式，代入bn=

an

an+m

(m∈N*)，求出數(shù)列{b_n} 的通項(xiàng)公式，再結(jié)合b₁，b₂，b₈ 成等比數(shù)列即可求m 的值；
（Ⅱ）先假設(shè)存在m 使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差數(shù)列，即2b₄=b₁+b_t，代入整理得t=7+

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m-5

，再結(jié)合t∈N^*，t≥5即可求出符合題意的m 的個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n=n²，所以當(dāng)n≥2 時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1 …（3分）
又當(dāng)n=1 時(shí)，a₁=S₁=1，適合上式，所以a_n=2n-1 （n∈N^* ）…（4分）
所以bn=

2n-1

2n-1+m

 
則b1=

1

1+m

，b2=

3

3+m

，b8=

15

15+m

 
由b₂²=b₁b₈，
得(

3

3+m

)2=

1

1+m

×

15

15+m

 
解得m=0 （舍）或m=9 
所以m=9 …（7分）
（Ⅱ）假設(shè)存在m 
使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差數(shù)列，即2b₄=b₁+b_t，
則2×

7

7+m

=

1

1+m

+

2t-1

2t-1+m

 
化簡(jiǎn)得t=7+

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m-5

 …（12分）
所以當(dāng)m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36 時(shí)，
分別存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8 適合題意，
即存在這樣m，且符合題意的m 共有9個(gè) …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于利用已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的方法求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式．