坐標(biāo)平面中,向量
w
與向量
v
=(2,
5
)
互相垂直且等長.請問下列哪些選項(xiàng)是正確的?
(1)向量
w
必為(
5
,-2)
(-
5
,2)

(2)向量
v
+
w
v
-
w
等長
(3)向量
v
+
w
w
的夾角可能為135°
(4)若向量
u
=a
v
+b
w
,其中,a,b為實(shí)數(shù),則向量
u
的長度為
a2+b2

(5)若向量(1,0)=c
v
+d
w
,其中c,d為實(shí)數(shù),則c>0.
分析:(1)由向量
w
與向量
v
互相垂直且等長,可設(shè)
w
=(x,y)
,列方程組求出;
(2)求出向量
v
+
w
v
-
w
的模長;
(3)求出向量
v
+
w
w
的夾角;
(4)求出向量
u
的長度;
(5)由向量(1,0)=c
v
+d
w
,列方程組,求出實(shí)數(shù)c,即可.
解答:解:(1)設(shè)
w
=(x,y)
,∵
w
v
?
w
v
=0?2x+
5
y=0
①;
又∵|
w
|=|
v
|?
x2+y2
=
22+(
5
)
2
?x2+y2=9
②;
由①②可得:(x,y)=(-
5
,2)或(
5
,-2)
,故結(jié)論正確;
(2)∵
v
+
w
=(2-
5
,
5
+2),
v
-
w
=(2+
5
5
-2)
,
v
+
w
=(2+
5
5
-2),
v
-
w
=(2-
5
5
+2);
|
v
+
w
|=|
v
-
w
|=
(2-
5
)
2
+(
5
+2)
2
=
18
=3
2
,故結(jié)論正確;
(3)設(shè)
v
+
w
w
的夾角為θ,則cosθ=
(
v
+
w
)•
w
|
v
+
w
|×|
w
|
=
v
w
+|
w
|
2
|
v
+
w
|×|
w
|
=
|
w
|
2
|
v
+
w
|×|
w
|
=
1
2
?θ=45°
,
故(3)結(jié)論不正確;
(4)∵
u
=a
v
+b
w
=(2a-
5
b,
5
a+2b)或(2a+
5
b,
5
a-2b)
,
|
u
|=
(2a-
5
b)
2
+(
5
a+2b)
2
=3
a2+b2
,故結(jié)論不正確;
(5)∵c
v
+d
w
=(1,0)
?(2c-
5
d,
5
c+2d)=(1,0)或(2c+
5
d,
5
c-2d)=(1,0)
?
2c-
5
d=1
5
c+2d=0
2c+
5
d=1
5
c-2d=0
?c=
2
9
,∴c>0結(jié)論正確;
點(diǎn)評:本題是平面向量性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查了求向量的模長,夾角,向量相等,以及解方程組等問題的基本解法,和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,要區(qū)分向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算,以避免出現(xiàn)錯誤.
練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系中,已知A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(
x2-9
,0)
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若實(shí)數(shù)λ使向量
A1P
,λ
OM
A2P
滿足:λ2(
OM
)2=
A1P
A2P
,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為W.
(Ⅰ)求W的方程,并判斷W是怎樣的曲線;
(Ⅱ)當(dāng)λ=
3
3
時(shí),過點(diǎn)A1且斜率為1的直線與W相交的另一個(gè)交點(diǎn)為B,能否在直線x=-9上找到一點(diǎn)C,恰使△A1BC為正三角形?請說明理由.

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在平面直角坐標(biāo)系中,已知A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M數(shù)學(xué)公式,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若實(shí)數(shù)λ使向量數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式滿足:數(shù)學(xué)公式,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為W.
(Ⅰ)求W的方程,并判斷W是怎樣的曲線;
(Ⅱ)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),過點(diǎn)A1且斜率為1的直線與W相交的另一個(gè)交點(diǎn)為B,能否在直線x=-9上找到一點(diǎn)C,恰使△A1BC為正三角形?請說明理由.

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坐標(biāo)平面中,向量
w
與向量
v
=(2,
5
)
互相垂直且等長.請問下列哪些選項(xiàng)是正確的?
(1)向量
w
必為(
5
,-2)
(-
5
,2)

(2)向量
v
+
w
v
-
w
等長
(3)向量
v
+
w
w
的夾角可能為135°
(4)若向量
u
=a
v
+b
w
,其中,a,b為實(shí)數(shù),則向量
u
的長度為
a2+b2

(5)若向量(1,0)=c
v
+d
w
,其中c,d為實(shí)數(shù),則c>0.

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