已知函數(shù)f(x)=(
1
3
)x
,等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,正項(xiàng)數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明數(shù)列{
Sn
}是等差數(shù)列,并求Sn;
(3)若數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和為Tn,問Tn
1000
2009
的最小正整數(shù)n是多少?
(4)設(shè)cn=
2bn
an
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Pn
(1)因?yàn)?span >a1=f(1)-c=
1
3
-c,
a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-
2
9
,
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-
2
27

又?jǐn)?shù)列{an}成等比數(shù)列,
所以a1=
a22
a3
=
4
81
-
2
27
=-
2
3
=
1
3
-c
,
解得c=1.…(2分)
又公比q=
a2
a1
=
1
3
,
所以an=-
2
3
•(
1
3
)n-1
=-2•(
1
3
n-1,n∈N*.…(3分)
(2)∵Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
,n≥2,
(
Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1
,n≥2
Sn
-
Sn-1
=1
,(n≥2)…(5分)
S1
=
b1
=
c
=1

∴數(shù)列{
Sn
}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
Sn
=1+(n-1)×1=n,∴Sn=n2.…(6分)
(3)由(2)得Sn=n2,
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,(*)
又b1=S1=1,適合(*)式
∴bn=2n-1,(n∈N*)…(8分)
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,
Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1

=
1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
)+
1
2
(
1
5
-
1
7
)+…+
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

=
1
2
(1-
1
2n-1
)=
n
2n+1
,…(10分)
由Tn=
n
2n+1
1000
2009
,得n>
1000
9
,
故滿足Tn
1000
2009
的最小正整數(shù)為112.…(11分)
(4)cn=
2bn
an
=(1-2n)•3n
.…(12分)
Pn=(-1)×3+(-3)×32+(-5)×33+…+(1-2n)×3n3Pn=(-1)×32+(-3)×33+(-5)×34+…+(3-2n)×3n+(1-2n)×3n+1
②-①得2Pn=3+2×32+2×33+…+2×3n+(1-2n)×3n+1
=3+2×
32(1-3n-1)
1-3
+(1-2n)×3n+1
=(2-2n)•3n+1-6.

Pn=(1-n)•3n+1-3.…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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求和:.

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已知函數(shù) 且 ,則
     (        )
A.100B.-100C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=2an-1(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足:b1=3,Sn+1=an+bn(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別是an=n,bn=2n,則數(shù)列{an•bn}的前100項(xiàng)的和為( 。
A.99×2101+2B.99×2101-2C.100×2101+2D.100×2101-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在等比數(shù)列{an}中,已知a3=
3
2
,S3=
9
2

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求和Sn=a1+2a2+…+nan

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已知公差d不為0的等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a1,a3,a7成等比數(shù)列.
(1)求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn;
(2)若有一新數(shù)列{bn},且bn=
1
anan+1
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

等差數(shù)列{an}中,a3=4,a8=9,其前n項(xiàng)的和為Sn
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn;
(2)設(shè)bn=2an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn及其前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=
2
sin(
2
+
π
4
)
.設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則S12=______.

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