Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+

1

x+b

（a，b為常數(shù)），且方程f(x)=

3

2

x有兩個(gè)實(shí)根為x₁=-1，x₂=2，
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心．

Answer 1

分析：（1）把方程的2個(gè)實(shí)數(shù)根分別代入方程得到方程組，解此方程組求出待定系數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．
（2）利用2個(gè)奇函數(shù)的和仍是奇函數(shù)，再利用圖象平移找出所求函數(shù)的對(duì)稱中心．

解答：解：（1）由

-a+ 1 -1+b =- 3 2 2a+ 1 2+b =3

解得

a=1 b=-1

故f(x)=x+

1

x-1

；
（2）證明：已知函數(shù)y₁=x，y2=

1

x

都是奇函數(shù)，
所以函數(shù)g(x)=x+

1

x

也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形，
而f(x)=x-1+

1

x-1

+1，
可知，函數(shù)g（x）的圖象沿x軸方向向右平移1個(gè)單位，
再沿y軸方向向上平移1個(gè)單位，即得到函數(shù)f（x）的圖象，
故函數(shù)f（x）的圖象是以點(diǎn)（1，1）為中心的中心對(duì)稱圖形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象的平移．