Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n＞1，求證：，且不等式lnn＞都成立．

Answer 1

（I）解：由題設(shè)可得
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式即恒成立．
∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，的最大值為1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；
（Ⅱ）解：當(dāng)a=1時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，于是f（x）在上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f'（x）＞0，于是f（x）在（1，2]上單調(diào)遞增．
又
綜上所述，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）在上的最小值為f（1）=0，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)f（x）在上的最大值為
（Ⅲ）證明：當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）知在[1，+∞）上是增函數(shù)
∴對(duì)于任意的正整數(shù)n＞1，有，則
而，
∴
∴．
而，
則成立
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式恒成立，求出的最大值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，確定函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值與最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）知在[1，+∞）上是增函數(shù)，可證明，疊加，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性．