已知函數(shù)y=
1
2
cos2x+
3
2
sinxcosx+1
,x∈R.
(1)求最大值,及當函數(shù)y取得最大值時,求自變量x的集合;
(2)求函數(shù)的對稱軸方程
(3)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
分析:(1)利用倍角公式和兩角和差的正弦余弦公式即可得出解析式,再利用當且僅當sin(2x+
π
6
)
=1,即2x+
π
6
=2kπ+
π
2
,函數(shù)y取得最大值
1
2
×1+
5
4
=
7
4
.即可得出;
(2)利用三角函數(shù)的圖象變換法則即可得出.
解答:解:(1)函數(shù)y=
1
2
cos2x+
3
2
sinxcosx+1
=
1
2
×
1+cos2x
2
+
3
2
×
1
2
×sin2x+1
=
1
2
(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)+
5
4

=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
5
4

∴當且僅當sin(2x+
π
6
)
=1,即2x+
π
6
=2kπ+
π
2
,解得x=kπ+
π
6
(k∈Z)
時,函數(shù)y取得最大值
1
2
×1+
5
4
=
7
4
.此時自變量x的集合為{x|x=kπ+
π
6
,k∈Z}.
(2)由sin(2x+
π
6
)=±1
,得到2x+
π
6
=kπ+
π
2
,解得x=
2
+
π
6
(k∈Z),∴函數(shù)的對稱軸方程為x=
2
+
π
6
(k∈Z).
(3)由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過向左平移
π
6
個單位長度得到y=sin(x+
π
6
)
;再把橫坐標縮短到原來的
1
2
倍,縱坐標不變得到y=sin(2x+
π
6
)

把縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="wvip4zg" class="MathJye">
1
2
得到y(tǒng)=
1
2
sin(2x+
π
6
)
;再把圖象向上平移
5
4
單位即可得到y(tǒng)=
1
2
sin(2x+
π
6
)+
5
4
的圖象.
點評:本題考查了倍角公式和兩角和差的正弦余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象變換等基礎知識與基本方法,屬于中檔題.
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3
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π
2
)
y=2sin(3x-
π
2
)

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+lg(
2+x
2-x
)
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0
0

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2
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