Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)。
（1）求直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率；
（2）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，且，求的最大值和最小值.

Answer 1

(1）， (2） 

試題分析：(1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004445633602.png" style="vertical-align:middle;" />，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：     ①   …………2分
易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），
據(jù)題意有AB所在的直線方程為：  ②      …………4分
由①，②有：        ③
設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由③及韋達(dá)定理有：
 
所以，即為所求。     …………6分
(2）設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：
，所以。
又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。  ④………8分
由③有：。
  ⑤
又A﹑B在橢圓上，故有     ⑥
將⑤，⑥代入④可得：。      …………10分
，故有
所以，     …………12分
點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)計(jì)算量大，對(duì)運(yùn)算能力要求很高，尋求簡(jiǎn)潔、合理的運(yùn)算途徑很重要，在解答時(shí)注意以下的轉(zhuǎn)化：⑴若直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)待交點(diǎn)坐標(biāo)是“設(shè)而不求”的原則，要注意應(yīng)用韋達(dá)定理處理這類問(wèn)題 ； ⑵與弦的重點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題求解常用方法一韋達(dá)定理法 二 點(diǎn)差法；⑶平面向量與解析幾何綜合題，遵循的是平面向量坐標(biāo)化，應(yīng)用的是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則還有兩向量平行、垂直來(lái)解決問(wèn)題，這就要求同學(xué)們?cè)诨�本概念、基本方法、基本能力上下功夫�?/div>