Question

已知函數(shù)和點(diǎn)P(1，0)，過點(diǎn)P作曲線y＝f(x)的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N．

(Ⅰ)設(shè)｜MN｜＝g(t)，試求函數(shù)g(t)的表達(dá)式；

(Ⅱ)是否存在t，使得M、N與A(0，1)三點(diǎn)共線．若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間內(nèi)總存在m＋1個(gè)實(shí)數(shù)a₁，a₂，…，a_m，a_m＋1，使得不等式g(a₁)＋g(a₂)＋…＋g(a_m)＜g(a_m+1)成立，求m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、， 　　，∴切線的方程為：， 　　又切線過點(diǎn)，∴有， 　　即，　　　　(1)　　2分 　　同理，由切線也過點(diǎn)，得．　　　　(2) 　　由(1)、(2)，可得是方程的兩根， 　　　　4分 　　 　　， 　　把(*)式代入，得， 　　因此，函數(shù)的表達(dá)式為．　　5分 　　(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，，∴＝， 　　即＝，化簡(jiǎn)，得， 　　，．………………(3)……………7分 　　把(*)式代入(3)，解得． 　　存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且．……………………9分 　　(Ⅲ)解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)， 　　， 　　則． 　　依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立，…………11分 　　， 　　即對(duì)一切的正整數(shù)恒成立，． 　　，， 　　． 　　由于為正整數(shù)，．……………………………13分 　　又當(dāng)時(shí)，存在，，對(duì)所有的滿足條件． 　　因此，的最大值為．……………………………14分 　　解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度最小時(shí)，得到的最大值，即是所求值． 　　，∴長(zhǎng)度最小的區(qū)間為，　　11分 　　當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得， 　　解得．　　　　13分