為贏得2010年上海世博會的制高點,某公司最近進行了世博特許產(chǎn)品的市場分析,調(diào)查顯示,該產(chǎn)品每件成本9元,售價為30元,每天能賣出432件,該公司可以根據(jù)情況可變化價格x(-30≤x≤54)元出售產(chǎn)品;若降低價格,則銷售量增加,且每天多賣出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價的降低值|x|的平方成正比,已知商品單價降低2元時,每天多賣出24件;若提高價格,則銷售減少,減少的件數(shù)與提高價格x成正比,每提價1元則每天少賣8件,且僅在提價銷售時每件產(chǎn)品被世博管委會加收1元的管理費.
(Ⅰ)試將每天的銷售利潤y表示為價格變化值x的函數(shù);
(Ⅱ)試問如何定價才能使產(chǎn)品銷售利潤最大?
【答案】分析:(1)根據(jù)“每天多賣出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價的降低值|x|的平方成正比”和“商品單價降低2元時,每天多賣出24件”,建立降價多賣產(chǎn)品的模型,再根據(jù)銷售利潤的構(gòu)成,建立利潤函數(shù)模型.當提價x時,由“銷售減少,減少的件數(shù)與提高價格x成正比,每提價1元則每天少賣8件,”,建立少賣產(chǎn)品的模型,再由銷售利潤的構(gòu)成建立利潤函數(shù)模型,構(gòu)造分段函數(shù).
(2)根據(jù)(1)按分段函數(shù)求最值來完成,思路是求每一段的最大值,然后從中取最大的作為原函數(shù)的最大值.
解答:解:(1)當降價|x|時,則多賣產(chǎn)品kx2,由已知得:24=kx2=4k⇒k=6,
所以f(x)=(30+x-9)(432+6x2)=6(x3+21x2+72x+1512)(3分)
當提價x時,f(x)=(30+x-10)•(432-8x)=-8x2+272x+8640,(2分)
所以(6分)
(2)當降價銷售時,
f(x)=6(x3+21x2+72x+1512),
f'(x)=18(x2+14x+24)=18(x+12)(x+2)=0⇒x1=-12,x2=-2,
所以有
即f(x)在x=-12處取得唯一極大值f(-12)=11664,
∴f(x)max=11664,(9分)
當提價銷售時,f(x)=-8x2+272x+8640=-8(x2-34x)+8640=-8[(x-17)2]+10952≤10952<11664(11分)
所以當定價18元時,銷售額最大.(12分)
點評:本題主要考查函數(shù)模型的建立和應用,主要涉及分段函數(shù)的求法,導數(shù)法,二次函數(shù)法求最值及分類討論思想.
練習冊系列答案
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(Ⅰ)試將每天的銷售利潤y表示為價格變化值x的函數(shù);
(Ⅱ)試問如何定價才能使產(chǎn)品銷售利潤最大?

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(Ⅰ)試將每天的銷售利潤表示為價格變化值的函數(shù);

(Ⅱ)試問如何定價才能使產(chǎn)品銷售利潤最大?

 

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   (Ⅰ)試將每天的銷售利潤表示為價格變化值的函數(shù);

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