Question

如圖，已知圓O′：（x+2）²+y²=8及點A（2，0），在圓O'上任取一點A′，連AA′并作AA′的中垂線l，設l與直線O′A′交于點P，若點A′取遍圓O′上的點．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點O′的直線m與曲線C交于M、N兩點，且|AM|=|AN|，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用l是線段AA′的中垂線，可得點P的軌跡是雙曲線，從而可求軌跡C的方程；        
（Ⅱ）設直線m的方程代入雙曲線方程，求出MN中點坐標，利用|AM|=|AN|，可得斜率互為負倒數(shù)，從而可得直線的向量，進而可求直線m的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵l是線段AA′的中垂線，∴|PA|=|PA′|，
∴||PA|-|PO′||=||PA′|-|PO′||=|O′A′|=2

2

．
即點P在以O′、A為焦點，以4為焦距，以2

2

為實軸長的雙曲線上，
故軌跡C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1．          
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線m的方程為y=k（x+2），代入雙曲線方程，可得（1-k²）x²-4k²x-2k²-2=0
∴x1+x2=

4k2

1-k2

，∴y1+y2=

4k

1-k2

，
∴MN中點坐標為（

2k2

1-k2

，

2k

1-k2

）
∵|AM|=|AN|，∴

2k 1-k2

2k2 1-k2 -2

×k=-1
∴k2=

1

3

，∴k=±

3

3

∴直線m的方程為y=±

3

3

（x+2）．

點評：本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．