Question

【題目】已知為常數(shù)， ，函數(shù)， （其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）過坐標原點作曲線的切線，設(shè)切點為，求證： ；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）先對函數(shù)求導(dǎo)， ，可得切線的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函數(shù)，可證；（2）由， ，先研究函數(shù)，則，由在上是減函數(shù)，可得，通過研究的正負可判斷的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的單調(diào)性，可求出參數(shù)范圍.

試題解析：（1）（），

所以切線的斜率，

整理得，顯然， 是這個方程的解，

又因為在上是增函數(shù)，

所以方程有唯一實數(shù)解，

故．

（2）， ，

設(shè)，則，

易知在上是減函數(shù)，從而．

①當，即時， ， 在區(qū)間上是增函數(shù)，

∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．

∴在區(qū)間上是減函數(shù)，所以滿足題意．　

②當，即時，設(shè)函數(shù)的唯一零點為，

則在上遞增，在上遞減，

又∵，∴，

又∵，

∴在內(nèi)有唯一一個零點，

當時， ，當時， .

從而在遞減，在遞增，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾.

∴不合題意．綜上①②得， ．